Fonksiyonlarla İşlemler ve Uygulamalar
Fonksiyonlarla İşlemler
Fonksiyonlarda Uygulamalar
İkinci Dereceden Fonksiyonların Grafikleri (Parabol)
a, b, c ∈ R ve a ≠ 0 olmak üzere; y = ax^2 + bx + c biçiminde tanımlanan fonksiyonlara ikinci dereceden fonksiyonlar denir. x değişkeni R (gerçek sayılar kümesi) üzerinden seçildiğinde, R’den R’ye bir ikinci derece fonksiyon elde edilir. Bu tür fonksiyonların analitik düzlemdeki grafiği bir parabol şeklinde olur.
Parabolün grafiğini analitik düzlemde çizebilmek için aşağıdaki adımları izlememiz gerekir:
- Tepe Noktasının Koordinatlarını Bulma: Parabolün tepe noktasının koordinatlarını hesaplamak önemlidir.
- Eksen Kesim Noktalarını Bulma: Parabolün x ve y ekseni ile kesiştiği noktaların koordinatlarını hesaplamak gereklidir.
- Değişim Tablosu Düzenleme: Parabolün değerlerini hesaplamak için bir değişim tablosu hazırlanır.
- Grafik Çizme: Hazırlanan değişim tablosundan yararlanarak belirlenen noktalar analitik düzlemde işaretlenir ve parabolün grafiği çizilir.
Örnek:
Verilen fonksiyon y = 2x^2 + 8 için, eksenleri kestiği noktaları bulalım:
- x = 0 için, y = 2(0)^2 + 8 = 8 olduğundan, y eksenini kestiği nokta (0, 8) dir.
- y = 0 için, 0 = 2x^2 + 8 ⇒ 2x^2 = -8 ⇒ x^2 = -4 gerçek kök yoktur.
Sonuç olarak, bu parabol x ekseni ile kesim noktası olmayan ve y ekseni ile (0, 8) noktasında kesen bir grafiğe sahiptir.
Parabolün Tepe Noktasının Koordinatları
f(x)= ax2 + bx + c parabol grafiğinde tepe noktası T(r,k) olmak üzere
Parabolün En Büyük ve En Küçük Değeri:
f(x) = ax² + bx + c parabolünde
- a > 0 ise, parabolün alabileceği en küçük değer parabolün tepe noktasının ordinatıdır.
- a < 0 ise, parabolün alabileceği en büyük değer tepe noktasının ordinatıdır.
Bu durum, parabolün belirli bir aralıktaki parçası için geçerli olabilir. Bir [a, b] aralığındaki parabolün maksimum ve minimum değerini hesaplamak istenirse, tepe noktası T(r, k) olarak kabul edilir ve f(r), f(a), ve f(b) değerleri incelenir.
Tepe Noktası ve Bir Noktası Bilinen Parabol Denklemi:
Eğer T(r, k) parabolünün tepe noktası ve A(x0, y0) parabol üzerinde bir nokta ise, parabolün denklemi aşağıdaki gibi yazılır:
y = a.(x – r)² + k
Bu denklemdeki a değeri, verilen noktayı yerine koyarak hesaplanır.
x Eksenini Kestiği Noktalar ve Üzerindeki Başka Bir Noktası Bilinen Parabolün Denklemi:
f(x) parabolünün x ekseni ile kestiği noktalar A(x1, 0) ve B(x2, 0) ise parabolün denklemi şu şekilde yazılır:
f(x) = a.(x – x1).(x – x2)
Bilinmeyen a değeri, parabolün üzerindeki noktayı denkleme yerleştirerek bulunur.
Üç Noktası Bilinen Parabol Denklemi:
A(x0, y0), B(x1, y1) ve C(x2, y2) noktaları parabolün üzerinde ise, bu noktalar parabolün genel denklemi olan
y = f(x) = ax² + bx + c
denklemine yerleştirilir ve üç bilinmeyen a, b, c değerleri hesaplanır.
Bir Doğru İle Bir Parabolün İlişkisi:
y = ax² + bx + c parabolü ile y = mx + n doğrusunun denklemleri eşitlenip oluşan denklemin diskriminantına (Δ = b² – 4ac) bakılarak ilişki değerlendirilir:
- Δ > 0 ise, parabol ve doğru iki farklı noktada kesişir.
- Δ = 0 ise, parabol doğruya teğettir.
- Δ < 0 ise, parabolle doğru kesişmez.
Parabolün x eksenini kestiğini belirlemek için ise ax² + bx + c = 0 denkleminin diskriminantına bakılır:
- Δ > 0 ise, parabol x ekseni ile iki farklı noktada kesişir.
- Δ = 0 ise, parabol x ekseni ile teğettir.
- Δ < 0 ise, parabol x ekseni ile kesişmez.
Fonksiyonların Dönüşümleri
Tek Fonksiyon
Grafiği orijine göre simetrik olan fonksiyonlar tek fonksiyondur.
Tek fonksiyonda her x ∈ R için f(-x) = -f(x) sağlanır.
Tek fonksiyonlarda x’in çift kuvvetlerinin olduğu terimlerin katsayıları sıfırdır.
Örnek:
Çift Fonksiyon
Grafiği y eksenine göre simetrik olan fonksiyonlara çift fonksiyon denir.
Çift fonksiyonlar her x ∈ R için f(-x) = f(x) olur.
Çift fonksiyonlarda x’in tek kuvvetlerinin olduğu terimlerin katsayıları sıfırdır.
Örnek:
Fonksiyonların Dönüşümleri
♦ b € R olmak üzere f(x)+b fonksiyonunun grafiği f(x) fonksiyonun grafiğinin b birim yukarı ötelenmesi ile elde edilir.
