Katı Cisimler
Prizma
[KK’], [LL’] ve [MM’] ise prizmanın yan yüzeylerini belirler.K’L’M’ üçgeni prizmanın alt tabanını, KLM üçgeni ise prizmanın üst tabanını temsil eder. KLL’K’, KMM’K’ ve LMM’L’ dörtgen bölgeleri ise prizmanın yan yüzeyini oluşturan kısımlardır. Eğer bir prizmanın yan yüzeyleri taban düzlemlerine dik bir şekilde düşerse, bu tür prizmaya dik prizma adı verilir. Eğik bir açıyla duran prizmalara ise eğik prizma denir. Prizmanın alt ve üst taban düzlemleri arasındaki uzaklık ise prizmanın yüksekliği olarak adlandırılır.Prizmalar, taban şekillerine göre farklı isimler alır. Eğer tabanı kare şeklindeyse buna kare prizma, üçgen şeklindeyse üçgen prizma, ve dairesel tabana sahipse silindir denir.
Dik Prizmalar
Yukarıdaki şekilde [AA’], [BB’] ve [CC’] yanal ayrıtları alt ve üst tabanlara dik bir şekilde yer alır. Bu nedenle bu prizma, bir üçgen dik prizmadır. Alt ve üst tabanlar aynı boyutta olduğundan dolayı alanları eşittir. Yanal yüzeyler ise dikdörtgen şeklindedir.
Yanal Alan = Taban Çevresi x Cisim Yüksekliği
Yanal Alan = Ç(A’B’C’) x h
Prizmanın toplam alanı, tüm yüzeylerinin alanlarının toplamıdır.
Prizmanın Alanı = Taban Alanı + Yanal Alan
Prizmanın Alanı = 2A(ABC) + Ç(A’B’C’) x h
Dik Prizmanın Hacmi ise Taban Alanı ile Yükseklik arasındaki ilişki kullanılarak bulunur.
Hacim = Taban Alanı x Yükseklik
Hacim = S x h
Küp
Tüm ayrıtları eşit uzunlukta olan dikdörtgen prizmalara küp denir.
- 6 tane yüzey vardır ve yüzeylerin tamamı karedir.
- Her biri eşit uzunlukta 12 tane ayrıtı vardır.
- Küp içerisinde birbirine en uzak iki köşe arasındaki doğru parçasına cisim köşegeni denir.
- Yukarıda çizilen küpün cisim köşegenleri [AC’], [BD’], [CA’] ve [DB’] dür. Cisim köşegenleri eşit uzunluktadır.
Bir ayrıtı a cm olan yukarıdaki küpte,
- Cisim köşegeni uzunluğu |AC’| = a√3 cm
- Küpün alanı A = 6a²
- Küpün hacmi V = a³‘tür.
Dikdörtgenler Prizması
Ayrıt uzunlukları a, b ve c cm olan bir şekildeki dikdörtgenler prizması, tüm yüzeyleri dikdörtgendir.
Dikdörtgenler prizması, alt ve üst tabanlarının dikdörtgen şeklinde olduğu ve bu tabanları birleştiren düzgün dikdörtgen yüzeylere sahip bir üç boyutlu katıdır. Yani prizmanın tabanları ve yan yüzeyleri dikdörtgen şeklinde olup, tüm açıları 90 derece olan bir katıdır.
Dikdörtgenler prizmasının özellikleri şunlardır:
- Yüzeyler ve Tabanlar: Dikdörtgenler prizması altı yüzeye sahiptir. Bu yüzeylerin ikisi alt ve üst tabanları oluşturur, diğer dört yüzey ise yan yüzeylerdir. Alt ve üst tabanlar aynı boyutta dikdörtgenlerdir.
- Ayrıtlar: Dikdörtgenler prizmasının toplamda 12 ayrıtı bulunur. Bu ayrıtlar, taban köşelerini birleştirir ve prizmanın kenarlarını oluşturur.
- Cisim Köşegenleri: Prizmanın içerisinde yer alan ve prizmanın uzak köşelerini birleştiren çizgilere cisim köşegenleri denir. Dikdörtgenler prizmasında her bir köşe için bir cisim köşegeni bulunur.
- Alan ve Hacim: Dikdörtgenler prizmasının yüzey alanını hesaplamak için taban alanları ve yan yüzeylerin alanları toplanır. Prizmanın hacmi ise taban alanı ile yüksekliğin çarpımı olarak bulunur.
Örnek: Ayrıt uzunlukları 4 cm, 6 cm ve 10 cm olan bir dikdörtgenler prizması düşünelim.
Piramit
Bir düzlem üzerinde yer alan çokgensel bölgenin tüm noktaları, bu düzlemin dışında bulunan bir noktayla birleştirilerek meydana gelen şekillere piramit adı verilir.
Piramit, üç boyutlu uzayda bir taban ve bu tabana ulaşan üçgen yüzeylerden oluşan bir katıdır. Piramidin belirgin bir zirvesi vardır ve bu zirve noktasından tabana doğru uzanan üçgen yüzeylerle çevrilidir. Piramitler, taban şekillerine göre farklı adlar alabilir, örneğin üçgen tabanlı piramit, kare tabanlı piramit gibi. Piramitlerin yüzey alanı ve hacmi, tabanın şekline, yüksekliğine ve piramitin türüne bağlı olarak hesaplanır.
Soru: Üçgen tabanlı bir piramidin yüzey alanını nasıl hesaplayabiliriz?
Cevap: Üçgen tabanlı bir piramidin yüzey alanını hesaplamak için önce taban alanını ve yan yüzeylerin alanını hesaplamamız gerekiyor. Yan yüzeyler üçgenler olduğu için bu yüzeylerin alanı 1/2 * taban kenarının uzunluğu * yükseklik formülü ile bulunur. Daha sonra taban alanını da ekleyerek toplam yüzey alanını elde ederiz.
Soru: Kare tabanlı bir piramidin hacmini nasıl hesaplayabiliriz?
Cevap: Kare tabanlı bir piramidin hacmi, taban alanının piramitin yüksekliği ile çarpımı şeklinde hesaplanır. Yani hacim (V) = Taban Alanı x Yükseklik formülü kullanılır.
Buradaki (K, ABCDEF) bir altıgen piramittir. K noktası piramidin tepe noktasıdır ve [KH] doğrusu, K’nın taban düzlemine uzaklığı olan piramidin yüksekliğini ifade eder. [KA], [KB], [KC], [KD], [KE] ve [KF] ise piramidin yanal ayrıtlarıdır.
Piramitin alanı = taban alanı + yanal alanı olarak hesaplanır.